1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree
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Description
小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法 等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一 个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么 需要满足：(value(e) 表示边 e的权值)
这下小
C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
Input
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值 为z。
Output
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数 据保证必定存在严格次小生成树)
Sample Input
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
Sample Output
11
HINT
数据中无向图无自环；
50% 的数据N≤2 000 M≤3 000；
80% 的数据N≤50 000 M≤100 000；
100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9
。
Source
这题的关键就在于求Lca,记录路径上的最小与严格次小值.
用f[i][j]表示i的第2^j个儿子(0 表示 不存在)
那么f[i][j]=f[ f[i][ j-1] ][j-1]
dp[i][j]和dp0[i][j]表示点i到f[i][j]的最小和严格次小值（不存在=-1），那么只需特判即可.
int lca(int x,int y,int &nowdp,int &nowdp0)
{
if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
int t=deep[x]-deep[y]; //差的数量
for (int i=0;t;i++)
if (t&bin[i]) //转化为位运算 bin[i]表示2<<i 把t看成2进制
{
x=f[x][i];
t-=bin[i];
}
int i=Li-1; //Li 表示 最高存到2^(Li-1)个父亲
while (x^y) //x和y不相等时
{
while (f[x][i]==f[y][i]&&i) i--; //当i==0时只能向上跳
x=f[x][i];y=f[y][i];
}
}
程序：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>
using namespace std;
#define MAXN (100000+10)
#define MAXM (600000+10)
#define Li (17)
#define INF (2000000000)
int edge[MAXM],pre[MAXM],weight[MAXM],next[MAXM],size=0;
int addedge(int u,int v,int w)
{
edge[++size]=v;
weight[size]=w;
next[size]=pre[u];
pre[u]=size;
}
int addedge2(int u,int v,int w)
{
addedge(u,v,w);
addedge(v,u,w);
}
int f[MAXN][Li]={0},dp[MAXN][Li]={0},dp0[MAXN][Li]={0},deep[MAXN],n,m;
struct E
{
int u,v,w;
friend bool operator<(E a,E b){return a.w<b.w; }
}e[MAXM];
bool b[MAXM],vis[MAXN];
int queue[MAXN],head,tail;
void bfs()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
head=tail=1;queue[1]=1;vis[1]=1;deep[1]=0;
while (head<=tail)
{
int &u=queue[head];
if (u!=1)
{
for (int i=1;i<17;i++)
{
if (f[u][i-1])
{
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
}
if (f[u][i]==0) break;
if (f[u][i])
{
dp[u][i]=max(dp[u][i-1],dp[f[u][i-1]][i-1]);
}
if (i==1)
{
if (dp[u][0]!=dp[f[u][0]][0]) dp0[u][1]=min(dp[u][0],dp[f[u][0]][0]);
else dp0[u][1]=-1;
}
else
{
dp0[u][i]=max(dp0[u][i-1],dp0[f[u][i-1]][i-1]);
if (dp[u][i-1]!=dp[f[u][i-1]][i-1]) dp0[u][i]=max(dp0[u][i],min(dp[u][i-1],dp[f[u][i-1]][i-1]));
}
}
}
for (int p=pre[u];p;p=next[p])
{
int &v=edge[p];
if (!vis[v])
{
queue[++tail]=v;
vis[v]=1;deep[v]=deep[u]+1;
f[v][0]=u;dp[v][0]=weight[p];dp0[v][0]=-1;
}
}
head++;
}
}
int bin[Li];
void check(int &nowdp,int &nowdp0,int c)
{
if (c<=nowdp0) return;
else if (nowdp0<c&&c<nowdp) nowdp0=c;
else if (c==nowdp) return;
else if (nowdp<c) {nowdp0=nowdp;nowdp=c;}
}
int lca(int x,int y,int &nowdp,int &nowdp0)
{
nowdp=nowdp0=-1;
if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
int t=deep[x]-deep[y];
for (int i=0;t;i++)
if (t&bin[i])
{
check(nowdp,nowdp0,dp[x][i]);
check(nowdp,nowdp0,dp0[x][i]);
x=f[x][i];
t-=bin[i];
}
int i=Li-1;
while (x^y)
{
while (f[x][i]==f[y][i]&&i) i--;
check(nowdp,nowdp0,dp[x][i]);
check(nowdp,nowdp0,dp0[x][i]);
check(nowdp,nowdp0,dp[y][i]);
check(nowdp,nowdp0,dp0[y][i]);
x=f[x][i];y=f[y][i];
}
}
int father[MAXN];
long long sum_edge=0;
int getfather(int x)
{
if (father[x]==x) return x;
father[x]=getfather(father[x]);
return father[x];
}
void union2(int x,int y)
{
father[father[x]]=father[father[y]];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++) father[i]=i;
memset(b,0,sizeof(b));
memset(next,0,sizeof(next));
for (int i=0;i<Li;i++) bin[i]=1<<i;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
}
sort(e+1,e+1+m);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
if (getfather(e[i].u)!=getfather(e[i].v)) {union2(e[i].u,e[i].v);addedge2(e[i].u,e[i].v,e[i].w);sum_edge+=e[i].w; }
else b[i]=1;
}
bfs();
long long mindec=-1;
for (int i=1;i<=m;i++)
if (b[i])
{
int nowdp,nowdp0;
lca(e[i].u,e[i].v,nowdp,nowdp0);
if (nowdp==e[i].w) nowdp=nowdp0;
if (nowdp==-1) continue;
if (mindec==-1||mindec>e[i].w-nowdp) mindec=e[i].w-nowdp;
}
printf("%lldn",sum_edge+mindec);
return 0;
}
.
.
.